jueves, 24 de mayo de 2012

calculo integral y calculo diferencial

trabajo de irvin adrian arango carrillo

CALCULO INTEGRAL.
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F' = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx o simplemente F = f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración:
Como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)' = F' + c' = f + 0 = f. Por ejemplo, 2xdx = x2 + c.
1
       integral
              cambio variable
         cambie variable
                operaciones
                                 solución

2
            integral
        cambio de variable
  operaciones
            solución

3
    integral
          derivar
         integrar
        integral
           derivar
                  integrar
             integral
                     solución


CALCULO DIFERENCIAL!

El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo.
Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

Cálculo diferencial se refiere al cálculo que estudia diferencias infinitesimales (o sea muy pequeñas), para estudiar problemas de continuidad y crecimiento.

A continuación le presentamos algunos problemas de CÁLCULO DIFERENCIAL resueltos:
Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
1 diferencial de las funciones
diferencial de las funciones

2 cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas 


Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado.

S = x 2 dS = 2x dx

d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2


Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.
cálculo de derivadas 

cálculo de derivadas 

cálculo de derivadas


geometria analitica


GEOMETRIA ANALITICA!

La geometría es la área dentro de las matemáticas responsable del análisis de las propiedades y las medidas que ostenta las figuras, ya sea en el espacio o en el plano, mientras tanto, dentro de la geometría nos encontramos con diferentes clases: geometría descriptiva, geometría plana, geometría del espacio, geometría proyectiva y geometría analítica.

Por su lado, la geometría analítica es una rama de la geometría que se aboca al análisis de lasfiguras geométricas a partir de un sistema de coordenadas y empleando los métodos del álgebra y del análisis matemático.

A CONTINUACION LE DEMOSTRAREMOS COMO SE EMPLEA LO ANALITICO DENTRO DE LOS PROBLEMAS:

EL TEMA ES  DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

DISTANCIAL ENTRE DOS PUNTOS.
Las herramientas analíticas básicas son formulas para traducir los conceptos geométricos en ecuaciones y en expresiones algebraicas equivalentes.
Para determinar estas formulas, comenzaremos con el mas sencillo en la Geometría Analítica, de acuerdo con el teorema de Pitágoras.
EJEMPLO:
1) Demostrar que los cuatro puntos son vértices de un paralelogramo.
A)(0, -2.5)
B)(6, 0)
C)(3, 4)
D)(-3, 1.5)
Solución:
El cuadrilátero del problema es indicado en la figura siguiente:
Y C(3, 4)
D(-3, 2.5) B(6, 0)
0
A (0, -2.5)
Por la formula de distancia entre dos puntos, tenemos:
AB = (X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2 = " (6 - 0)2 + (0 - (-2.5))2
AB = " 62 + 2.52 = " 36 + 6025 = " 42.25 = 6.5
BC = " (3 - 6) + (4-0)2 = " -32 + 42 = " 9 + 16 = "25
BC = 5
CD = " (-3 -3)2 + (1. 5) = " -62 + 2.52 = " 36 + 6.25
CD = "42.25 = 6.5
AD = " (0 - 3)2 + (1.5 - (2.5)) = " -32 + 42 = " 9 + 16
AD = "25 = 5
2) Compruébese que el triangulo con los vértices en los puntos A(-4, 3), B(0, 2), C(2, -5) es obtusángulo.
A(-4, 3) y
B(0, 2)
x
C(2, -5)
AB = " (0 - (4))2 + (2 - 3)2
AB = " 42 - 12 = " 16 + 1 = "17
BC = " (2 - 0)2 + (-5 - 2)2 = "22 - 72 = "4 + 49 = "53
AC = "(2 - (-4)2 (-5 -3) 2 = "22 - 72 = " 4 + 49 = "53
AC = 10

algebra

álgebra


El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos. esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica.

Historia del  Algebra’:El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Sicofante. Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Sicofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces

 factorizacion.
 Para Factorizar Trinomios de la Forma Ax² + Bx + C

Apréndete estos
pasos


3x² - 5x - 2

Multiplica todos los términos del Trinomio, por el Coeficiente del 1er, Termino del Trinomio [3], al 2do Termino solo déjalo señalado

9x² - [3]5x - 6 →


Ahora abre 2 paréntesis cada uno con una de las raíces de [ 9x²]

(3x : : :) (3x : : : )

Basándote en el Coeficiente del 2do termino y del 3er termino del trinomio Auxiliar, busca 2 números que sumados te den [ - 5 ] y multiplicados, te den [ - 6]

Esos números son [ - 6 y 1 ]

- 6 + 1 = - 5

[ - 6 ] * [1] = - 6

Los números encontrados anótalos dentro de los paréntesis

(3x - 6 ) (3x + 1 )

En el 2do paréntesis, reduce los términos, dividiendo entre [3]

(x - 2) (3x + 1 )

Esta es la Factorización
3x² - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1 )
 

  2x² - x - 1





binomio conjugado : primer termino igual, segundo termino cambiado de signo ( a + b ) → ( a - b)

Si multiplico dos binomios conjugados, el resultado es la diferencia entre el cuadrado del primero y el cuadrado del segundo

(3+4)(3-4) = 9 - 16 = -5

(V¯2 + 3) (V¯2 - 3) = (V¯2)² - 9 = 2 - 9 = -7

( 10 + 5) (10 - 5) = 100 - 25 = 75



trigonometria

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA


La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. 

ÁNGULOS

Asociada tradicionalmente a un capítulo tan importante de la actividad humana como es el de la observación astronómica, la noción de ángulo es básica en geometría (y obviamente en trigonometría). Su aparente sencillez no ha de ocultar el hecho de que el tratamiento de los ángulos como magnitudes susceptibles de ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras magnitudes geométricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a arcos de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional, el número pi; esto implica que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo la división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan resolverse fácilmente mediante una construcción geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás. Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR del plano que contiene a los tres puntos; dichas semirrectas poseen un origen común N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina ángulo. Las semirrectas son los lados del ángulo y su origen común es el vértice.
A continuación estudiaremos un poco sólo los ángulos que contienen los triángulos.

  • Agudos

  • Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son característicos de los triángulos acutángulos.

  • Rectos
  • Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos rectángulos.

  • Obtusos

  • Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son característicos de los triángulos obtusángulos.



    TRIÁNGULOS

    El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales.

    1. CLASIFICACIÓN POR LADOS

      1. Isósceles
      2. Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales; recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales.


      3. Equilátero
      4. Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar que al triángulo que tiene los tres ángulos iguales se le llama, como se acaba de mencionar, triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo.

      5. Escaleno
      6. Cuando un triángulo tiene sus tres lados distintos entre sí se llama escaleno.

    2. CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS

      1. Acutángulo
      2. Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que 90º) se llama acutángulo.

      3. Rectángulo
      4. Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.

      5. Obtusángulo
      6. Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el triángulo se llama obtusángulo.



    La razón es la comparación por cociente de dos magnitudes de la misma especie; por lo tanto, se trata de un número abstracto. Dado un ángulo agudo, tomemos un punto cualquiera sobre uno de sus lados; por ejemplo, el punto M, situado sobre el lado OM (O es el vértice). Si por M trazamos una perpendicular, que cortará al otro lado del ángulo, en el punto S, quedan determinados tres segmentos, los cuales forman un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, al lado más grande (el que está frente al ángulo de 90º) se le denomina hipotenusa, y a los otros dos lados se les llama catetos. Con los tres segmentos definidos, se pueden obtener seis razones distintas, que son:

    Seno:

    se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre la hipotenusa.

    Coseno:

    se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre la hipotenusa.

    Tangente:

    se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adyacente.

    Cotangente:

    se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre el cateto opuesto.

    Secante:

    se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto adyacente.

    Cosecante:

    se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto opuesto.


    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

     ejercicios de trigonometria


    1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

    13 rad
    solución
    solución

    22π/5rad.
    solución

    33π/10 rad.
    solución

    Ejercicios 2

    Sabiendo que cos α = ¼ , y que  270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. 


    solución


    solución

    solución

    Ejercicios 3

     
    Comprobar las identidades: 

       1identidad
              identidad                                      
                                       identidad